اعداد گنگ (Irrational numbers)            

یونانیان به اعداد و روابط آنها با پدیده­های جهان طبیعت اعتقاد بسیاری داشته­اند، تا آنجا که فیثاغورث و طرفدارانش ادعا می­کردند که اعداد سازنده جهان هستند و هر چیزی با عدد قابل بیان است. یکی از دلایل فروپاشی مکتب فیثاغورثیان این بود که هنگتمی که می­خواستند معروفترین قضیه خود را(قضی? فیثاغورث) بیان کنند با این پرسش مواجه می­شدند که اگر طول هر یک از ضلع­های مجاور زاوی? قائمه برابر واحد باشد، طول وتر چه عددی می­شود؟ و فیثاغورثیان که ادعا می­کردند اعداد سازنده جهان طبیعت هستند، حال نمی­توانستند آن عدد را بیان کنند.

تعریف: m عددی گنگ(اصم) است وقتی که هیچ­ کسری به صورت  که a,b?? وجود نداشته باشد که برابر m شود.

نشان می­دهیم که عددی گنگ است.

اثبات به برهان خلف: فرض می­کنیم عددی گویا است، پس اعدادی مانند a و b وجود دارند بطوریکه   و<!--[endif]--> .

طرفین تساوی را به توان 2 می­رسانیم پس  و بنابراین a²=2b² یعنی a² عددی زوج است و چون توان دوم هر عدد فردی، فرد است، پس a زوج است و می­توان فرض کرد a=2k و بنابراین 4k²=2b² که نتیجه می­دهد b²=2k² ، یعنی b² و در نتیجه b زوج است. پس a و b اعدادی زوج شدند و دارای حداقل یک مقسوم علیه مشترک (یعنی 2 ) هستند که با فرض اولیه که (a,b)=1 در تناقض است. پس فرض خلف باطل و حکم ثابت است، یعنی <!--[endif]-->عددی گنگ است.

نشان می­دهیم که اگر a=p+1 که در آن p یک عدد گنگ است آنگاه عدد a نیز گنگ است.

اثبات به برهان خلف: فرض کنیم a گنگ نیست، پس گویاست.

تساوی یگ عدد گویا و یگ عدد گنگ ناممکن است → a-1=p → چون اعداد گویا نسبت به تفریق بسته­اند پس a-1 گویاست→ a-1=p   → a=1+p

و این یک تناقض است، پس فرض خلف باطل و حکم ثابت است.

رسم­پذیر بودن اعداد گنگ:

عدد a را رسم­پذیر گویند هرگاه بتوان با استفاده از خط­کش و پرگار پاره­خطی به طول a رسم کرد. حال آیا  رسم پذیر است.

می­دانیم که از هر نقطه خارج یک خط مفروض می­توان خطی عمود بر آن رسم کرد. اگر محل تلاقی این دو خط را در مبداء در نظر می­گیریم، به این محور رسم­پذیر گوییم. در این محور داریم:

1)(a.0)  و یا (0,a) را رسم­پذیر گوییم هرگاه a  رسم­پذیر باشد.

2) (a,b) را رسم­پذیر گوییم هرگاه a,b رسم­پذیر باشند.

3) هر شکلی را که روی این محور بتوان رسم کرد؛ اعم از پاره­خط، دایره و ... یک شکل رسم­پذیر گوییم.

حال می­توانیم نشان دهیم که  رسم­پذیر است. چون اگر (0,1) و (1,0) را روی محور به هم وصل کنیم بنا بر قضی? فیثاغورث پاره­خطی به طول  داریم.

*(تنها عددی که ممکن است رسم­پذیر نباشد عدد گنگ است.) تعیین اینکه عدد گنگی رسم­پذیر است یا خیر به معلومات و تکنیکهای ویژه­ای نیاز دارد که در مقاطع بالاتر مانند جبر 2 ارائه می­شود.

برای ساخت یک عدد گنگ کافیست بسط اعشاری این عدد، هیچ دوره­ تناوب یا دوره تکراری نداشته باشد. به این ترتیب می­توان بی­نهایت عدد گنگ ساخت.

در ریاضیات این گزاره که "هر عددی که گویا نباشد `گنگ است´ صخیخ نیست. اعدادی نیز وجود دارند که نه گویا هستند و نه گنگ. مانند " اعداد بی­نهایت کوچک". چند مثال از اعداد گنگ:  , <!--[endif]--> , e , π , g و ... .

بسط­ دهی یک عدد گنگ نشان می­دهد که دارای ویژگی­هایی می­باشند:

1)بی­پایان هستند.

2)تکرار ناپذیر هستند، یعنی رقمهایشان الگویی غیر تکراری را نشان می­دهند.

چند اصل در مورد اعداد گنگ:

1)بین دو عدد گنگ، حداقل یک عدد گویا وجود دارد.

2)بین دو عدد گویا، حداقل یک عدد گنگ وجود دارد.

3)بین دو عدد گنگ، حداقل یک عدد گنگ وجود دارد.

قضی? هورویتز (Hurwitz theorem) :

هر عددی دارای تقریب­های "گویای" بی­نهایتی به شکل  است که در آن تقریب <!--[endif]--> دارای خطایی کمتر از  است.

طبقه بندی اعداد گنگ: اعداد گنگ را با توجه به چگونگی سختی محاسبه­اشان از طریق "تقریب" با اعداد گویا طبقه­بندی کرده­اند. به عبارت دیگر یک عدد گنگ از عدد گنگ دیگر، گنگ­تر است. به عنوان مثال عدد <!--[endif]--> دارای تقریب بهتری نسبت به عدد  است، پس  گنگ­تر از π است.

گنگ­ترین عدد گنگ عددی است که قبلا در هندسه شناخته شده است و به عدد گنگ طلائی g (Golden mean) مشهور است.              <!--[endif]-->

عدد g جواب معادله x²-x+1=0 است. عدد گنگ طلائی عبارت است از " قطر یک پنج ضلعی با اضلاع برابر یک". گنگی بسیار بالای این عدد باعث کاربردش در هند است که هنوز علت آن مشخص نیست. این عدد نقش مهمی در مباحث "زیباشناسی ریاضی" دارد.

عدد π: عدد π را نسبت به محیط دایره به قطر آن تعریف می­کنند. در سال 1761 لامبرت (Lambert) ریاضیدان سوئدی ثابت کرد که عدد π گنگ است. همچنین لایدمن (Lindeman) ثابت کرد که عدد π یک عدد جبری نیست یعنی نمی­تواند ریشه یک معادله جبری باشد که ضرایب آن گویا هستند.

اولین بار به طور رسمی ارشمیدس روشی را برای محاسب? تقریبی عدد π بیان کرد:  

این کشف که عدد π یک عدد گنگ است به سالها تلاش ریاضیدانان برای تربیع دایره پایان داد.

عدد e: اویلر ثابت کرد e عددی گنگ است و دارای" کسرهای مسلسل" نامحدود ساده است. ژوزف لیدویل ثابت کرد e جواب "معادله درجه دوم با ضرایب صحیح" نیست. همچنین چارلز هرمیت (Charles Hermite) ثابت کرد عدد گنگ e، عددی غیر جبری است.

اجتماع اعداد گویا وگنگ، اعداد حقیقی است. مجموعه اعداد گنگ مجموعه­ای ناشمارا است. جورج کانتور (George Cantor) ریاضیدان آلمانی نشان داده است درحالی که بی­نهایت عدد گنگ و گویا وجود دارند؛ تعداد اعداد گنگ از اعداد گویا بیشتر است.

تابع درخت کریسمس: تابع f را بر  با ضابط?        در نظر می­گیریم.

fتابعی است که مجموعه نقطه­های ناپیوستگی آن اعداد گویای بازه  و نقاط پیوستگی آن اعداد گنگ بازه  هستند. نامگذاری این تابع به خاطر شباهت شکل این تابع با درخت کریسمس است.

اعداد گنگ و رشد گیاهان: ردیابی شاخکهای میو? کاج نشان می­دهد، آنها یکی یکی از قسمت پایینی اضافه می­شوند. زاوی? بین یک شاخک با دیگری، همیشه یکسان است! این فرض معقول است که معمولا موثرترین فشردگی زمانی اتفاق بیفتد که این زاویه تا آنجا که ممکن است عددی گنگ باشد. به همین خاطر است که در طبیعت زاویه­های گنگ فراوان دیده می­شود.